Tentukan hasil dari \( \int_1^e \ln x \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat gunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = dx\), sehingga kita peroleh:
\begin{aligned} &u = \ln x \ \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \ \Rightarrow du = \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &dv = dx \ \Rightarrow v = x \end{aligned}
Dengan demikian, kita dapatkan hasil berikut:
\begin{aligned} \int_1^e \ln x \ dx &= [uv]_1^e - \int_1^e v \ du \\[8pt] &= [x \cdot \ln x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= [e\cdot \ln e - 1 \cdot \ln 1] - \int_1^e dx \\[8pt] &= [e \cdot 1 - 1 \cdot 0] - [x]_1^e \\[8pt] &= e - 0 - (e - 1) \\[8pt] &= e - e + 1 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}
Jadi, \( \int_1^e \ln x\ dx = 1\).